Правила вывода — Введение в математическую логику

Первое правило связано с порядком квантификаторов. Оно сформулировано так:

Мы уже знаем, что квантификаторы помогают определить диапазон значений переменных, для которых предикат считается истинным.

Например, в высказывании предикат — это разность меньше .

То же высказывание можно представить в виде , где и — переменные.

Остальные правила вывода обознаются так:

В начале урока мы говорили, что аргументы должны быть действительными. Остановимся на этой теме подробнее и научимся определять действительные и недействительные аргументы.

Возьмем такой пример:

Сначала мы переведем аргумент в математическую форму:

Теперь проверяем аргумент по правилам вывода. Как видим, аргумент соответствует правилу Modus Tollens, которое мы рассматривали выше. Значит, мы можем с уверенностью утверждать, что заключение верно.

Перевод аргументов в символы — это отличный способ расшифровать, есть ли у нас действующее правило вывода или нет.

Выше мы разбирали правила вывода на довольно простых примерах. Поднимемся на следующий уровень сложности и попробуем применить эти же правила к универсальным и экзистенциальным квантификаторам.

Правила вывода становятся невероятно полезными, когда применяются к квантифицированным утверждениям. Именно таким образом мы можем доказывать более сложные аргументы.

Обратите внимание, что при работе с универсальным и экзистенциальным обобщением можно вывести недействительные утверждения из истинных. Поэтому мы должны быть внимательны к тому, как формулируем рассуждения.

Рассмотрим правила логики для квантифицированных высказываний на таком примере:

Нам даны предпосылки, по которым мы делаем вывод «Некоторые серые существа любят Whiskas». Этот вывод истинный или ложный? Чтобы это проверить, переведем высказывание на язык математики:

В этом уроке мы изучили правила, которые помогают проверять действительность аргументов:

Чтобы доказать заключение, нужно оперировать предпосылками и использовать описанные выше правила вывода до тех пор, пока мы не придем к финальному выводу.

Язык математики изучать очень сложно. Он очень абстрактный и непохожий на другие языки, на которых мы привыкли общаться. Но в одном математический язык точно похож на естественные — его нельзя выучить без регулярной практики.

Чем больше вы будете использовать язык математики, тем быстрее вы освоите его. Тогда математика станет для вас удобным инструментом, который помогает рассуждать, оценивать высказывания и делать выводы.