Теория: Матрицы

Ранее в курсе мы определились, что решать системы уравнений школьными методами не всегда рационально, ведь количество вычислений возрастет в разы, и перевели систему уравнений на язык матриц. Давайте подробнее разберемся, как работает этот инструмент.

В этом уроке мы рассмотрим матрицы, их правильное обозначение, первые математические операции и как определить, когда две матрицы равны друг другу.

Что такое матрицы

В изучении матриц есть практическая польза — они помогают упростить вычисления. Если нам нужно решить задачу с системой уравнений, мы можем перевести систему в матричную форму. Тогда нам будет проще решать задачу. Далее мы в этом убедимся.

Математические объекты, в которых числа организованы в прямоугольник, называются матрицами. Для начала рассмотрим правильное обозначение матриц. Возьмем такую систему уравнений:

{
    3x + 2y = 16
    7x + y = 19
}

Если ту же систему записать в виде матрицы, она будет выглядеть так:

[[3,2],[7,1]]

Заметим, что пока мы записали в виде матрицы только числа из левой части уравнений. Эти числа называются коэффициентами*. В уравнениях они стоят рядом с переменными*, которых у нас две — x и y. Числа после знака равенства нас пока не интересуют.

Рассмотрим эту матрицу подробнее. Числа в ней расположены в аккуратных строках и столбцах. Вокруг матрицы расположены квадратные скобки, которые говорят нам, что конкретная группа чисел находится в одной матрице.

Матрицы также можно описать через их размер. Первое число указывает на количество строк, второе на количество столбцов:

• Если матрица имеет две строки и два столбца, можно назвать ее матрицей 2*2
• Матрица с четырьмя строками и двумя столбцами — это матрица 4*2

Равные матрицы

Теперь вы знаете, как выглядит матрица. Далее мы обсудим, в каких случаях две матрицы считаются равными друг другу.

Понятно, что сравнить отдельные числа просто:

2 = 2

С матрицами похожая ситуация, но есть и отличия. Две матрицы считаются одинаковыми, если:

• Все числа в них одинаковые
• Все числа стоят на одинаковых позициях
• Обе матрицы одинакового размера

Например, эти две матрицы одинаковы:

[[4,4,4],[4,4,4]] = [[4,4,4],[4,4,4]]

Они считаются одинаковыми, потому что у них совпадают все числа и их позиции. А еще они одинакового размера — 2*3.

Посмотрим на другой пример:

[[4,4,4],[4,4,4]] ne [[4,4],[4,4],[4,4]]

Это не равные матрицы, потому что они разного размера: 2*3 в первом случае и 3*2 во втором.

Если две матрицы имеют одинаковые элементы, это не значит, что они равны. Их размеры также должны быть одинаковыми.

Сложение и вычитание матриц

Вспомним виды математических операций и применим их к матрицам. Для начала попробуем выполнить сложение и вычитание.

Сложение и вычитание матриц — это то же самое, что сложение и вычитание чисел. Единственная разница в том, что в матрицах складывать и вычитать мы можем элементы, которые находятся на одинаковых местах.

Чтобы применить сложение, мы берем две матрицы должны быть одинакового размера и сопоставляем число с числом:

[[3,3],[2,8]]-[[1,1],[1,5]] = [[3 - 1,3 - 1],[2 - 1,8 - 5]] = [[2,2],[1,3]]

Мы сопоставили два числа на совпадающих позициях:

• В первой строке и первом столбце первой матрицы
• В первой строке и первом столбце второй матрицы

Если у нас есть две матрицы разного размера, складывать и вычитать их между собой нельзя.

Выше мы рассмотрели пример сложения матрицы с матрицей. Еще мы можем сложить матрицу с числом. Для этого мы прибавляем число ко всем числам в матрице.

Рассмотрим пример:

[[3,3],[2,8]] + 7 = [[3 + 7,3 + 7],[2 + 7,8 + 7]] = [[10,10],[9,15]]

Вычитание выполняется так же, как и сложение. Две матрицы должны быть одинакового размера, вычитаем число за числом, сопоставляя расположение чисел. Мы также можем вычесть одно и то же число из всех чисел в матрице:

[[3,3],[2,8]] - 7 = [[3 - 7,3 - 7],[2 - 7,8 - 7]] = [[-4,-4],[-5,1]]

Нотации

Каждая матрица состоит из элементов, которые в общем виде представляются в виде букв с подстрочными индексами для указания их положения в матрице. Рассмотрим на примере:

• a_(2,3) обозначает элемент во второй строке и третьем столбце
• a_(3,1) обозначает элемент в третьей строке и первом столбце

Для обозначения матрицы всегда используется заглавная буква — например, «матрица A» или «матрица B».

Рассмотрим общий пример матрицы A порядка 2*2. Другими словами, это матрица из двух строк и двух столбцов, записанная в общем виде:

A_(2*2) = [[a_11,a_12],[a_21,a_22]]

Еще один пример — матрица B размером 3*1:

B_(3*1) = [[b_11],[b_21],[b_31]]

Выводы

В этом уроке мы познакомились с матрицами — одним из самых мощных инструментов в математике. Теперь вы знаете, что такое матрицы и как они записываются. Также мы научились проводить с матрицами самые базовые математические операции — сложение и вычитание.

Область применения матриц огромна. Например, компьютеры могут обрабатывать фотографии именно потому, что изображения представлены в виде матриц. Почти любая компьютерная графика невозможна без матриц.

Далее в курсе мы рассмотрим более сложные операции над матрицами и поговорим об их практическом применении подробнее.