Теория: Линейные операции

Ранее в курсе мы выяснили, что такое матрица и векторы. Теперь мы разберемся, какие операции с ними можно проделать. В предыдущем уроке мы уже научились складывать и вычитать, сравнивать их между собой.

Что такое линейные операции

Сложение и вычитание матриц — это поэлементные операции. То есть во время них элементы матриц должны стоять на одинаковых местах и иметь одинаковое количество строк и столбцов.

При линейных операциях изменения происходят пропорционально: мы складываем или вычитаем элементы в каждой строке и столбце с соответствующими элементами в строке и столбце другой матрицы. Слово «линейный» означает тот факт, что в выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов. Есть только линейные выражения в первой степени.

Но есть еще одна линейная операция — умножение матрицы на число. Тут все очень похоже. Когда вы умножаете матрицу на число, вы умножаете каждый элемент матрицы на то же число. В результате этой операции получается новая матрица.

Возьмем для примера такую матрицу A:

A=[[a_11,a_12],[a_21,a_22]]

Умножим ее на 3. Для этого каждый элемент матрицы мы умножаем на 3:

A*3=[[a_11*3,a_12*3],[a_21*3,a_22*3]]=3A

Иногда эту операцию называют умножением матрицы на скаляр.

Скаляр — это действительное число или символ, представляющий действительное число, другими словами: скаляр — это любое положительное число, отрицательное число или нуль. Само слово скаляр имеет смысл изменения масштаба чего-либо, далее в курсе мы часто будем его использовать.

Рассмотрим основные свойства линейных операций с матрицами:

• Если умножить матрицу на единицу, получится исходная матрица A:

  1*A = A

• Если умножить матрицу на 0, получится нулевая матрица. Все элементы матрицы A превращаются в нули:

  0*A = 0

• При умножении матриц одного порядка A и B на действительное число x выполняется свойство дистрибутивности:

  x*(A+B) = (x*A) + (x*B)

• При умножении любой матрицы A на сумму действительных чисел x и n выполняется свойство дистрибутивности:

  A*(x+n) = A*x + A*n

• При умножении любой матрицы A на произведение любых действительных чисел x и n выполняется свойство ассоциативности:

  (x*n)*A = x*(n*A)

Выводы

Как видите, линейные операции не представляют особенной сложности. Но что делать, если нужно умножить матрицу на другую матрицу? Какие матрицы мы можем перемножать? Можем ли мы как-то изменить матрицу, если нам не подходит ее порядок? Как извлечь из матрицы максимум информации? На эти вопросы мы ответим в следующем уроке.