Основы линейной алгебры

Теория: Интегралы

Интегралы — это одна из важнейших разделов математики, находящая применение во многих областях жизни: в физике, технике, экономике и других научных областях. В линейной алгебре интегралы используются для решения систем дифференциальных уравнений, что позволяет прогнозировать и моделировать различные процессы.

Программисты также активно используют интегралы в своей работе для анализа времени выполнения программ, оптимизации алгоритмов и тестирования программного обеспечения. В этом уроке мы начнем знакомство с этой темой и обсудим, что такое интеграл и как он выглядит.

Что такое интеграл

Интеграл — это математическая операция, обратная к дифференцированию. Другими словами, интеграл позволяет найти функцию, производная которой является заданной функцией. Это очень полезный инструмент, который позволяет находить площадь под кривой на графике функции.

Его используют для решения разнообразных задач в науке и технике. Например, они помогают рассчитать:

  • Площадь фигур
  • Объем тел
  • Центр масс
  • Другие характеристики объектов
  • Функцию плотности вероятности
  • Другие параметры, полезные в решении задач из теории вероятностей

Интеграл обозначается так:

∫

Он может быть определенным или неопределенным:

Определенный интеграл∫[a to b] f(x) dx Имеет нижний и верхний пределы интегрированияПозволяет вычислить точную площадь под графиком функции между пределами
Неопределенный интеграл ∫ f(x) dxНе имеет нижнего или верхнего предела интегрированияПомогает находить первообразную функцию

Выше мы упомянули первообразную — это функция, производная которой равна заданной функции. Например:

  • Сама функция: f(x) = x^2
  • Ее первообразная: F(x) = (x^3)/3

Первообразные активно используются в математических вычислениях и помогают вычислять интегралы.

Существуют различные правила интегрирования, которые позволяют вычислять интегралы более сложных функций. Некоторые из этих правил включают в себя интегрирование по частям, замену переменных и разложение на простые дроби.

В этом уроке мы только знакомимся с интегралами, поэтому не будем вычислять их. Пока просто посмотрим, как выглядят интегралы разных функций. В таблице ниже вы увидите обозначение $C$ — это произвольная постоянная:

Сама функцияНеопределенный интегралОпределенный интегралИнтервал функции
f(x) = x^2 ∫[x to 2] dx = (x^3)/3 + C ∫[0 to 2] x^2 dx = [(8)/3 - 0] = 8/3от $0$ до $2$
f(x) = sin(x) ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C ∫[0 to pi/2] sin(x) dx = 1от $0$ до $Pi/2$
f(x) = e^x ∫[e to x] dx = e^x + C ∫[0 to 1] e^x dx = e - 1от $0$ до $1$

Выводы

В этом уроке мы рассмотрели основные понятия, правила интегрирования и примеры интегралов функций. Но это только начало. В следующих уроках мы углубимся в тему интегралов:

  • Выясним, в чем разница между двойным и тройным интегралом
  • Разберем таблицу интегрирования
  • Научимся оптимизировать решения задач

Рекомендуемые программы

Навигация по темеТеория

Завершено

0 / 24