Теория: Определенный интеграл

Определенный интеграл — это один из важнейших математических инструментов. Он помогает решать множество различных задач, связанных с функциями и их графиками. В этом уроке мы рассмотрим, что такое определенный интеграл и как его можно использовать на практике.

Что такое определенный интеграл

Представьте, что мы едем из города А в город В и хотим узнать, сколько бензина потратим на поездку. При этом мы знаем:

• Сколько топлива потребляет машина
• С какой постоянной скоростью мы двигаемся

Чтобы узнать расход топлива за всю поездку, нам нужно вычислить площадь под графиком расхода топлива в зависимости от времени.

Другими словами, мы можем умножить расход топлива на единицу времени и вычислить, сколько бензина мы потратили в каждую единицу времени. Затем мы можем узнать общее количество бензина, которое потратили на поездку. Для этого мы складываем расход за каждую единицу времени — это и есть определенный интеграл.

С точки зрения математики, определенный интеграл — это инструмент, который показывает площадь под кривой графика функции между двумя вертикальными линиями на графике.

Интеграл позволяет вычислить площадь под графиком функции между двумя вертикальными линиями — точками a и b. При этом он дает конкретное численное значение, поэтому его и называют определенным. Он может быть положительным или отрицательным в зависимости от того, как меняется функция на интервале между a и b.

Другими словами, определенный интеграл показывает, насколько функция f(x) изменяется на определенном участке между двумя точками a и b на оси x. Формально это можно записать вот таким образом:

∫[a to b] f(x) dx, где:

• f(x) — это интегрируемая функция
• a и b — это границы интегрирования на оси x

Как решать определенные интегралы

Решение задачи с определенным интегралом состоит из двух основных шагов:

• Найти первообразную функцию
• Вычислить интеграл

Находим первообразную функцию

Первообразная функция — это функция, производная которой равна интегрируемой функции. Чтобы найти первообразную функцию f(x), нужно найти функцию $F(x)$, производная которой равна f(x).

Другими словами, если мы знаем, что производная функции f(x) равна g(x), то можем найти первообразную функцию F(x), которая определяется следующим образом:

F(x) = ∫ g(x) dx

Вычисляем интеграл

Далее мы можем вычислить определенный интеграл. Для этого подставляем границы интегрирования a и b в формулу определенного интеграла и вычисляем значение.

Определенный интеграл можно вычислить как площадь под кривой на интервале от a до b на оси x. Мы можем разбить интервал на маленькие части и приближенно вычислить площадь под кривой, используя методы прямоугольников или трапеций. Точность вычисления площади зависит от того, как мы разбиваем интервал и какой метод мы используем.

Решаем определенный интеграл на примере

Посмотрим, как это работает на практике. Для примера найдем определенный интеграл функции f(x) = x^2 на интервале от 0 до 5.

Для этого мы должны сначала найти первообразную функции x^2, которая равна (1/3)x^3:

∫[0 to 5] x^2 dx = [0 to 5](1/3)x^3) = (1/3)5^3 - (1/3)0^3 = 41.67

Таким образом, мы определили площадь под графиком функции f(x) на интервале от 0 до 5 — она равна 41.67.

Выводы

Определенный интеграл — это важный математический инструмент, который имеет широкое применение в различных областях. Мы рассмотрели, что такое определенный интеграл, как его можно использовать на практике, а также рассмотрели несколько подробных примеров.