Теория: Общий случай СЛАУ

В предыдущих уроках мы разбирались, как работать с матрицами, как представлять систему уравнений в виде матрицы и даже решали систему с помощью операторов. В этом уроке мы объединим методы и немного дополним алгоритм, который разбирали в предыдущих уроках.

Систему уравнений можно решить с помощью матриц, записав ее в виде матричного уравнения. Также с помощью матричного уравнения можно определить, имеет ли система единственное решение, бесконечное число решений или не имеет решения.

В этом уроке мы узнаем, как решать матричные уравнения различными методами и на примерах.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение имеет вид A*X = B, где:

• A — матрица коэффициентов
• X — матрица столбцов переменных
• B — матрица столбцов констант, которые находятся в правой части уравнений системы

Для примера рассмотрим систему из n уравнений с n переменных:

{
((a_11 * x_1) + (a_12 * x_2) + ... + (a_(1n) * x_n) = b_1),
((a_21 * x_1) + (a_22 * x_2) + ... + (a_(2n) * x_n) = b_2),
(...),
((a_(n1) * x_1) + (a_(n2) * x_2) + ... + (a_(n\n) * x_n) = b_n)
}

Тогда матричное уравнение, соответствующее вышеуказанной системе, имеет вид A * X = B, где:

• A — матрица, составленная из коэффициентов
• X — матрица столбцов переменных
• B — матрица столбцов констант

Подставим все три матрицы в формулу:

[[a_11,a_12,...,a_(1n)],[a_21,a_22,...,a_(2n)],[:,:,:,:],[a_(n1),a_(n2),...,a_(n\n)]]*[[x_1],[x_2],[:],[x_n]]=[[b_1],[b_2],[:],[b_n]]

Как написать матричное уравнение

Чтобы записать систему уравнений в виде матричного уравнения, нужно выполнить четыре шага:

• Убедиться, что переменные находятся в одинаковом порядке в каждом уравнении
• Убедиться, что все переменные находятся в левой части, а все постоянные — в правой
• Найти матрицу коэффициентов A, матрицу переменных X и матрицу постоянных B
• Записать систему в виде матричного уравнения A*X = B

Попробуем попрактиковаться на примерах. Возьмем такую систему уравнений:

{
    (3x + y + 2z - 10 = 0),
    (z - 3y = -5),
    (y + x - 2z = 7)
}

Попробуем записать ее в виде матричного уравнения.

Для этого по порядку расположим все переменные с левой стороны, а постоянные — с правой:

{
    (3x + y + 2z = 10),
    (0x - 3y + z = -5),
    (x + y - 2z = 7)
}

Теперь мы можем записать эту систему в виде матрицы:

A=[[3,1,2,10],[0,-3,1,-5],[1,1,-2,7]]

У нас получилось матричное уравнение этой системы. Еще его можно записать в виде A * X = B:

[[3,1,2],[0,-3,1],[1,1,-2]]*[[x],[y],[z]]=[[10],[-5],[7]]

Как решать матричное уравнение

Давайте попробуем решить матричное уравнение A*X = B для X.

Умножим обе стороны уравнения на обратную величину A. Для удобства запишем ее как A^(-1):

A^(-1)*(A*X) = A^(-1)*B

Для удобства введем I — это матрица тождества того же порядка, что и A.

Она помогает нам определить, что:

• A^(-1)*A = I — следовательно, IX = A^(-1)*B
• I*X = X — следовательно, X = A^(-1)*B

Так мы постепенно приходим к решению матричного уравнения. Оно также известно как обратное матричное уравнение*. Поэтому формула выше известна как «формула обратной матрицы».

Итак, вот шаги по решению системы уравнений с помощью матриц:

• Записываем систему в виде матричного уравнения A*X = B
• Находим обратную матрицу A^(-1)
• Умножаем эту матрицу на постоянную матрицу B, чтобы получить решение X = A^(-1)*B

Последовательность в матричных уравнениях

Мы знаем, что найти обратную матрицу можно только в том случае, если ее определитель не равен нулю. Таким образом, единственное решение уравнения (X = A^(-1)*B) существует только тогда, когда det (A) ne 0.

А теперь представим систему уравнений, в которой det (A) = 0. Как узнать, сколько решений может иметь система?

В этом случае нужно найти adj(A) * B, где adj (A) означает смежность A.

При этом нужно сопоставить наше выражение с нулевой матрицей O и прийти к одному из двух вариантов:

• Если adj (A) * B ne O, то система не имеет решения
• Если adj (A) * B = O, то система либо последовательная (с бесконечным числом решений), либо непоследовательная (без решения)

То же самое описано формулами ниже:

A=[[0,0],[0,0]]

Выводы

В этом уроке мы изучили, как решать системы уравнений с помощью матриц и выяснили, как они применяются на практике. Далее в курсе мы перейдем к другим разделам линейной алгебры, научимся работать с функциями и извлекать из них еще больше информации.