Теория: Площадь фигуры, ограниченной линиями

Определенный интеграл — это один из фундаментальных инструментов. Например, с его помощью можно вычислять площади, объемы, центры тяжести и других характеристик фигур.

В этом уроке мы рассмотрим, как вычислять площадь фигуры через интеграл.

Как вычислить площадь через интеграл

Для примера представим, что нам надо вычислить площадь поля. С одной стороны поле ограничено извилистой рекой, а с другой — дорогой под прямым углом. Для решения этой задачи мы можем разбить поле на маленькие прямоугольники и сложить их площади, используя определенный интеграл.

Таким образом, определенный интеграл помогает нам решать реальные задачи — а именно вычислять площадь любой фигуры, ограниченной линиями.

Как мы уже знаем, определенный интеграл — это один из двух типов интегралов. Так выглядит его формальное определение:

∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a), где

• F(x) — первообразная функции f(x)
• a и b — границы интегрирования

Задачи с определенным интегралом тесно связаны с линейной алгеброй. Дело в том, что такие задачи решаются либо через интегралы, либо каким-то способом из линейной алгебры.

Рассмотрим пару примеров таких задач:

• Вычисление объема тела, ограниченного несколькими плоскостями в пространстве — решается через интегралы или через определители и матрицы
• Вычисление площадей поверхностей, ограниченных кривыми в пространстве — решается через интегралы или через векторное произведение методами линейной алгебры

Далее мы разберем алгоритм вычисления площади фигуры, ограниченной линиями:

1. Определяем уравнения линий, ограничивающих фигуру. Наша фигура может быть ограничена некоторым количеством прямых или кривых линий. Например, чтобы вычислить площадь треугольника, мы должны определить три прямые линии, которые образуют его границы
2. Определяем верхнюю и нижнюю границы интегрирования. Чтобы это сделать, нужно найти точки пересечения линий, ограничивающих фигуру. Эти точки будут значениями a и b в нашем интегральном уравнении
3. Записываем определенный интеграл. Далее мы можем записать определенный интеграл в виде ∫[a to b] f(x) dx, где f(x) — это функция, которая описывает форму фигуры
4. Вычисляем интеграл. В самом конце мы вычисляем определенный интеграл, используя любой известный нам метод интегрирования. Результатом будет площадь фигуры

Чтобы лучше понять тему, рассмотрим пример. Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3 и y = 0 на отрезке [0, 1].

Нашу фигуру ограничивает функция y = x^3. Поэтому интегральное уравнение будет выглядеть следующим образом:

∫[a to b] x^3 dx

Вычисляем этот интеграл:

∫[a to b] x^3 dx = [0 to 1](x^4 / 4) = 1/4

Так мы выяснили площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3 и y = 0 на отрезке [0, 1] — она равна 1/4.

Выводы

Определенный интеграл помогает вычислить площади, объемы и другие характеристики фигуры. В этом уроке мы рассмотрели, с его помощью вычислять площадь фигуры, ограниченной линиями. Теперь вы умеете использовать этот метод. Не забывайте, что практика — ключ к успеху в математике!