Обратные функции — Функции

Для начала скажем, что обратной называют функцию, которая может превратиться в другую функцию. Проще говоря, если любая функция переводит в , то обратная переведет в .

Если функция обозначается или , то обратная функция обозначается или . Здесь не следует путать с экспонентой или взаимно обратным показателем.

Формальное определение будет звучать так:

Обратная функция часто используется в математике — например, в тригонометрии. С ее помощью можно найти меру угла, для которого функция синуса дала значение. Так это выглядит:

Обычная функция принимает значения, выполняет определенные операции над этими значениями и выдает результат.

Обратная функция согласуется с результирующей, выполняет операции и возвращается к исходной функции. Обратная функция возвращает исходное значение, для которого функция дала выход.

Если рассматривать функции, то и считаются обратными:

Функция, состоящая из своих обратных, возвращает исходное значение. Так это выглядит на практике:

В таком случае является обратной функцией .

График обратной функции отражает две вещи:

Эта линия на графике проходит через начало координат и имеет наклон . Она может быть представлена как:

Выражение выше равносильно такому выражению:

Это соотношение немного похоже на , которое определяет график . Но обратите внимание на разницу — части и поменялись местами. Поэтому если нам нужно построить график , то мы должны поменять местами оси и .

Когда мы создаем обратную функцию от исходной, меняется и область на графике. Область исходной функции становится областью обратной функции, а область заданной функции становится областью обратной функции.

График обратной функции получается так: нужно взять исходный график и заменить его координаты на относительно прямой .

Переход от функции к обратной функции выглядит так:

Чтобы функция считалась обратной функцией, каждый элемент в диапазоне в должен быть отображен из некоторого элемента в в доменное множество. Такое отношение называется отношением один-один или отношением запрета.

Также обратная функция данной функции имеет область в , связанную с отдельным элементом в в кодоменном множестве. Такое отношение по отношению к данной функции является онто-функцией или сюръекцией.

А еще существуют биективные функции — так называют обратные функции, которые являются инъюнктивными и сюръективными.

Если в результате композиции двух функций и получается тождественная функция , то говорят, что эти две функции являются инверсиями друг друга.

Если применение функции к входу дает выход , то применение другой функции к должно вернуть значение . Следовательно, обратная функция обращает функцию. Область данной функции становится областью обратной функции, а область данной функции становится областью обратной функции.

В общем, обратная функция — это отражение функции начала координат относительно прямой . Ее можно получить, заменив на .

Если даны графики двух функций, можно определить, являются ли они обратными друг другу. Если графики обеих функций симметричны относительно прямой y = x, то мы говорим, что эти две функции являются обратными друг другу. Это объясняется тем, что если лежит на функции, то лежит на ее обратной функции:

Обратная функция — это любая функция, которая никогда не принимает одно и то же значение дважды. Другими словами, для каждого значения существует только одно значение . Это означает, что каждый элемент кодомена является образом не более чем одного элемента его области.

Кроме того, обратная функция проходит тесты на вертикальную линию и горизонтальную линию:

Разберемся, как находить обратную функцию. Для этого мы возьмем такой пример:

Пройдем весь процесс по шагам.

Шаг 1. Возьмем заданную функцию и заменим в ней на . Так мы получим такое выражение:

Шаг 2. Далее возьмем функцию . В ней мы заменим на , а — на . Получится такое выражение:

Шаг 3. Далее попробуем решить выражение для . На этом шаге мы получим:

Шаг 4. В конце заменяем на . В итоге получаем такой результат: