Как работает метод гаусса на js?

Метод Гаусса (или метод исключения Гаусса) - это алгоритм, используемый для решения систем линейных уравнений. Давайте посмотрим, как он работает на JavaScript.

Для начала мы должны представить нашу систему уравнений в виде матрицы. Создадим двумерный массив, где каждый вложенный массив будет представлять строку нашей матрицы:

const matrix = [
  [1, 2, -1, 2],
  [2, 1, -2, -1],
  [-3, 1, 1, -1],
  [4, -1, -1, 3],
];

Теперь мы можем начать процесс приведения матрицы к треугольному виду (главной целью метода Гаусса). Для этого мы будем выполнять ряд преобразований над нашей матрицей, используя элементарные операции: умножение строки на число, добавление одной строки к другой и перестановку строк.

Сначала мы приведем первый элемент первой строки к 1, разделив всю первую строку на первый элемент:

const factor = matrix[0][0];
for (let i = 0; i < matrix[0].length; i++) {
  matrix[0][i] /= factor;
}

Затем мы будем вычитать первую строку, умноженную на коэффициент, из всех остальных строк, чтобы первый столбец матрицы стал содержать только нули:

for (let i = 1; i < matrix.length; i++) {
  const factor = matrix[i][0] / matrix[0][0];
  for (let j = 0; j < matrix[i].length; j++) {
    matrix[i][j] -= factor * matrix[0][j];
  }
}

Затем мы продолжим таким же образом, приводя каждый следующий столбец к треугольному виду. В итоге мы получим матрицу, где каждый следующий столбец будет содержать все больше нулей.

Когда мы достигнем последнего столбца, матрица будет приведена к ступенчатому виду, и мы сможем легко решить систему уравнений. Для этого мы начнем с последней строки и будем последовательно выражать каждую переменную через уже найденные:

const solutions = [];
for (let i = matrix.length - 1; i >= 0; i--) {
  const solution = matrix[i][matrix[i].length - 1];
  for (let j = i + 1; j < matrix.length; j++) {
    solution -= matrix[i][j] * solutions[solutions.length - (j - i)];
  }
  solutions.push(solution);
}

Полученный массив solutions будет содержать решения нашей системы уравнений.

Вот так примерно работает метод Гаусса на JavaScript. Конечно, есть детали и особенности реализации, но в целом алгоритм довольно прост.