Теория: Объединение

Когда мы используем слово «или» в повседневных разговорах, мы можем не понимать, что это слово используется в двух разных смыслах. Способ обычно определяется из контекста разговора. Посмотрим на два примера:

• «Вы бы хотели курицу или стейк?» — можно взять одно или другое, но не оба
• «Вы бы хотели масло или сметану к печеной картошке?» — можно взять или одно, или другое, или оба. Здесь «или» используется в инклюзивном смысле

В математике слово «или» используется в инклюзивном смысле. Так, утверждение «x является элементом A или элементом B» означает, что возможен один из трех вариантов:

• x является элементом только A и не является элементом B
• x является элементом только B и не является элементом A
• x является элементом A и B. Можно также сказать, что x является элементом пересечения A и B

В теории множеств слово «или» обозначает объединение — формирование новых множеств из старых. Это одна из самых распространенных операций, поэтому в этом уроке мы погрузимся в эту тему подробнее и научимся соединять множества между собой.

Как объединять множества

Для примера рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Чтобы найти объединение этих двух множеств, мы просто перечислим все элементы, которые видим, стараясь не дублировать элементы. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 находятся либо в одном, либо в другом множестве, поэтому объединение A и B равно {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Условные обозначения

Важно не только понимать, как работает объединение, но и уметь читать символы, которыми обозначаются такие операции. Символ, используемый для обозначения объединения двух множеств A и B, имеет вид A ∪ B.

Один из способов запомнить символ ∪ для обозначения объединения — заметить его сходство с заглавной буквой U — это сокращение слова union. Будьте внимательны, потому что этот символ очень похож на символ пересечения. Один из них получается из другого вертикальным переворотом.

Чтобы увидеть это обозначение в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Там были множества A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Поэтому мы бы записали уравнение множества так:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Объединение с пустым множеством

Пустое множество (∅) — это множество, в котором нет элементов. Поэтому его объединение с любым другим множеством не будет иметь никакого эффекта. Другими словами, объединение любого множества с пустым множеством вернет нам исходное множество.

Это тождество становится еще более компактным при использовании нотации:

A ∪ ∅ = A

Объединение с универсальным множеством

А что произойдет, если мы объединим любое множество с универсальным множеством? Универсальное множество содержит каждый элемент, поэтому мы не можем добавить к нему ничего другого. Таким образом, объединение любого множества с универсальным множеством является универсальным множеством.

И снова наши обозначения помогают нам выразить это тождество в более компактном формате:

Для любого множества A и универсального множества U, A ∪ U = U

Правила объединения

О других тождествах, в которых используется операция объединения, вы узнаете на практике, когда будете использовать язык теории множеств. Но мы все таки рассмотрим три самых важных тождества.

Для всех множеств A, B и D имеем:

• Свойство рефлексии: A ∪ A =A
• Свойство коммутативности: A ∪ B = B ∪ A
• Ассоциативное свойство: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)