Зарегистрируйтесь, чтобы продолжить обучение

Объединение Теория множеств

set-theory-union

Когда мы используем слово «или» в повседневных разговорах, мы можем не понимать, что это слово используется в двух разных смыслах. Способ обычно определяется из контекста разговора. Посмотрим на два примера:

  • «Вы бы хотели курицу или стейк?» — можно взять одно или другое, но не оба
  • «Вы бы хотели масло или сметану к печеной картошке?» — можно взять или одно, или другое, или оба. Здесь «или» используется в инклюзивном смысле

В математике слово «или» используется в инклюзивном смысле. Так, утверждение «x является элементом A или элементом B» означает, что возможен один из трех вариантов:

  • x является элементом только A и не является элементом B
  • x является элементом только B и не является элементом A
  • x является элементом A и B. Можно также сказать, что x является элементом пересечения A и B

В теории множеств слово «или» обозначает объединение — формирование новых множеств из старых. Это одна из самых распространенных операций, поэтому в этом уроке мы погрузимся в эту тему подробнее и научимся соединять множества между собой.

Как объединять множества

Для примера рассмотрим множества A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Чтобы найти объединение этих двух множеств, мы просто перечислим все элементы, которые видим, стараясь не дублировать элементы. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 находятся либо в одном, либо в другом множестве, поэтому объединение A и B равно {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Условные обозначения

Важно не только понимать, как работает объединение, но и уметь читать символы, которыми обозначаются такие операции. Символ, используемый для обозначения объединения двух множеств A и B, имеет вид A ∪ B.

Один из способов запомнить символ для обозначения объединения — заметить его сходство с заглавной буквой U — это сокращение слова union. Будьте внимательны, потому что этот символ очень похож на символ пересечения. Один из них получается из другого вертикальным переворотом.

Чтобы увидеть это обозначение в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Там были множества A = {1, 2, 3, 4, 5} и B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Поэтому мы бы записали уравнение множества так:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Объединение с пустым множеством

Пустое множество (∅) — это множество, в котором нет элементов. Поэтому его объединение с любым другим множеством не будет иметь никакого эффекта. Другими словами, объединение любого множества с пустым множеством вернет нам исходное множество.

Это тождество становится еще более компактным при использовании нотации:

A ∪ ∅ = A

Объединение с универсальным множеством

А что произойдет, если мы объединим любое множество с универсальным множеством? Универсальное множество содержит каждый элемент, поэтому мы не можем добавить к нему ничего другого. Таким образом, объединение любого множества с универсальным множеством является универсальным множеством.

И снова наши обозначения помогают нам выразить это тождество в более компактном формате:

Для любого множества A и универсального множества U, A ∪ U = U

Правила объединения

О других тождествах, в которых используется операция объединения, вы узнаете на практике, когда будете использовать язык теории множеств. Но мы все таки рассмотрим три самых важных тождества.

Для всех множеств A, B и D имеем:

  • Свойство рефлексии: A ∪ A =A
  • Свойство коммутативности: A ∪ B = B ∪ A
  • Ассоциативное свойство: (A ∪ B) ∪ D =A ∪ (B ∪ D)

Самостоятельная работа

Задача №1

Найдите объединение множеств A и B, где A = {0,1,2,3,4} и B = {13}.

Дано:

  • Множество A = {0,1,2,3,4}
  • Множество B = {13}

Объединение двух множеств содержит все элементы, которые присутствуют в первом множестве, во втором множестве или в обоих множествах.

Нажмите, чтобы увидеть ответ **Ответ:** A ∪ B = {0,1,2,3,4,13}

Задача №2

Определите объединение множеств P и Q, где P = {1,2,3} и Q = ∅.

Нажмите, чтобы увидеть ответ Дано: * Множество P = {1,2,3} * Множество Q = ∅ Согласно свойству нулевого множества, объединение любого множества с нулевым или пустым множеством приводит к самому множеству. Таким образом, P ∪ Q = P. **Ответ**: P ∪ Q = P

Задача №3

Найдите объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Нажмите, чтобы увидеть ответ Мы знаем, что: * Множество рациональных чисел Q = {p/q | p, q ∈ z, q != 0} * Множество иррациональных чисел Q' = {x | x не является рациональным числом} Объединение этих двух множеств является множеством действительных чисел (R). **Ответ**: R

Аватары экспертов Хекслета

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты

Для полного доступа к курсу нужен базовый план

Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.

Получить доступ
1000
упражнений
2000+
часов теории
3200
тестов

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

  • 130 курсов, 2000+ часов теории
  • 1000 практических заданий в браузере
  • 360 000 студентов
Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Логотип компании Альфа Банк
Логотип компании Aviasales
Логотип компании Yandex
Логотип компании Tinkoff