- Как объединять множества
- Условные обозначения
- Объединение с пустым множеством
- Объединение с универсальным множеством
- Правила объединения
Когда мы используем слово «или» в повседневных разговорах, мы можем не понимать, что это слово используется в двух разных смыслах. Способ обычно определяется из контекста разговора. Посмотрим на два примера:
-
«Вы бы хотели курицу или стейк?» — можно взять одно или другое, но не оба
-
«Вы бы хотели масло или сметану к печеной картошке?» — можно взять или одно, или другое, или оба. Здесь «или» используется в инклюзивном смысле
В математике слово «или» используется в инклюзивном смысле. Так, утверждение « является элементом или элементом » означает, что возможен один из трех вариантов:
-
является элементом только и не является элементом
-
является элементом только и не является элементом
-
является элементом и . Можно также сказать, что является элементом пересечения и
В теории множеств слово «или» обозначает объединение — формирование новых множеств из старых. Это одна из самых распространенных операций, поэтому в этом уроке мы погрузимся в эту тему подробнее и научимся соединять множества между собой.
Как объединять множества
Для примера рассмотрим множества и .
Чтобы найти объединение этих двух множеств, мы просто перечислим все элементы, которые видим, стараясь не дублировать элементы. Числа находятся либо в одном, либо в другом множестве, поэтому объединение и равно .
Условные обозначения
Важно не только понимать, как работает объединение, но и уметь читать символы, которыми обозначаются такие операции. Символ, используемый для обозначения объединения двух множеств и , имеет вид .
Один из способов запомнить символ для обозначения объединения — заметить его сходство с заглавной буквой U — это сокращение слова union. Будьте внимательны, потому что этот символ очень похож на символ пересечения. Один из них получается из другого вертикальным переворотом.
Чтобы увидеть это обозначение в действии, вернитесь к приведенному выше примеру. Там были множества и . Поэтому мы бы записали уравнение множества так:
Объединение с пустым множеством
Пустое множество ( ) — это множество, в котором нет элементов. Поэтому его объединение с любым другим множеством не будет иметь никакого эффекта. Другими словами, объединение любого множества с пустым множеством вернет нам исходное множество.
Это тождество становится еще более компактным при использовании нотации:
Объединение с универсальным множеством
А что произойдет, если мы объединим любое множество с универсальным множеством? Универсальное множество содержит каждый элемент, поэтому мы не можем добавить к нему ничего другого. Таким образом, объединение любого множества с универсальным множеством является универсальным множеством.
И снова наши обозначения помогают нам выразить это тождество в более компактном формате:
Для любого множества и универсального множества ,
Правила объединения
О других тождествах, в которых используется операция объединения, вы узнаете на практике, когда будете использовать язык теории множеств. Но мы все таки рассмотрим три самых важных тождества.
Для всех множеств и имеем:
-
Свойство рефлексии:
-
Свойство коммутативности:
-
Ассоциативное свойство:
Самостоятельная работа
Задача №1:
Найдите объединение множеств и , где и .
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Дано:
-
Множество
-
Множество
Объединение двух множеств содержит все элементы, которые присутствуют в первом множестве, во втором множестве или в обоих множествах.
Ответ:
Задача №2:
Определите объединение множеств и , где и .
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Дано:
-
Множество
-
Множество
Согласно свойству нулевого множества, объединение любого множества с нулевым или пустым множеством приводит к самому множеству. Таким образом, .
Ответ:
Задача №3:
Найдите объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Мы знаем, что:
-
Множество рациональных чисел
-
Множество иррациональных чисел не является рациональным числом
Объединение этих двух множеств является множеством действительных чисел .
Ответ:
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
