Зарегистрируйтесь, чтобы продолжить обучение

Нотации Теория множеств

set-theory-symbols

Теория множеств — это раздел математики, посвященный изучению коллекций объектов, их свойств и отношений между ними. В этой теме не обойтись без общепринятых условных значений. Без этих знаний вы не сможете понимать математические выражения и дальше продвигаться в изучении дискретной математики.

В этом уроке мы рассмотрим наиболее важные символы в теории множеств — также узнаем, что они значат и как их использовать. Для удобства чтения мы сгруппировали эти символы в таблицы по их функциям.

Константы

В теории множеств константы — это односимвольные литералы, используемые для обозначения ключевых математических множеств. В таблице ниже мы приводим наиболее заметные из них, а также их значение и примеры:

Ø, ∅, {} Пустое множество \
⊆ {N} Множество натуральных чисел 1 ∈ {N}
⊆ {Z} Множество целых чисел Если m,n ∈ {Z}, тогда m+n, mn ∈ {Z}
⊆ {Q} Множество рациональных чисел P ∉ ∈ {Q}
⊆ {I} Множество иррациональных чисел Pi ∈ ⊆ {I}
⊆ {R} Множество действительных чисел e ∈ {R}
⊆ {C} Множество комплексных чисел ⊆ {N} ⊆ {Z} ⊆ {Q} ⊆ {R} ⊆ {C}
⊆ {U} Универсальное множество Когда U= ⊆ {R}, ⊆ {I}= ⊆ {R} \ ⊆ {Q}

На схеме ниже вы видите, как соотносятся константы между собой:

set-theory-symbols-2

Переменные

Как и в других областях математики, в теории множеств часто используются символы переменных для обозначения различных объектов и величин.

В следующей таблице мы рассмотрим наиболее распространенные константы:

A, B, C Множества A ⊆ B ∪ C
a, b, c Элементы множества Если a ∈ A и b ∈ B, тогда a , b ∈ A ∪ B
α,β,gamma Порядковые числа Если P(β) для всех β<α подразумевает, что P(α) для всех α, тогда P выполняется в общем случае
λ Предельные ординалы λ является предельным ординалом, если он не равен ни 0, ни ординалу преемника
κ Мощность (кардинальные числа) Для каждого конечного кардинала κ, его преемником является просто κ+1

Разделители

В теории множеств разделители — это символы, используемые для разделения между независимыми математическими сущностями, и часто встречаются в контексте определения множеств.

В следующей таблице мы рассмотрим наиболее распространенные разделители:

{} Идентификатор для множеств {37,Pi}
() Идентификатор для кортежей (3,7) ∈ {N}
\∣,: Маркер «Такой, что» {x2: ⊆ {Z}}

Реляционные символы

В теории множеств реляционные символы описывают отношения между множествами или отношения между множеством и его элементом.

В следующей таблице мы рассмотрим наиболее распространенные реляционные символы:

x∈Ax∈A Принадлежит к множеству (Элемент xx входит в множество AA) 2∈N2∈N.
x∉Ax∉A Непринадлежность к множеству (Элемент xx не входит в множество AA) Π∉QΠ∉Q
A=BA=B Эквивалентность множеств (Множества равны) ∅={}∅={}
A⊆BA⊆B Отношение подмножества (AA является нестрогим подмножеством BB) Символ ⊆⊆ является аналогом ≤, то есть допускается равенство (A=BA=B) множеств {1,3}⊆{1,3,7}{1,3}⊆{1,3,7} и {1,3,7}⊆{1,3,7}{1,3,7}⊆{1,3,7}
A⊂BA⊂B Отношение строгого подмножества (AA является строгим подмножеством BB) Символ ⊂⊂ является аналогом < {1,3}⊂{1,3,7}{1,3}⊂{1,3,7}
AA ⊊ BB Отношение без подмножества (AA не является подмножеством BB) Если AA⊊BB, тогда существует такое x∈Ax∈A, что x∉Bx∉B
A⊇BA⊇B Надмножество (AA является надмножеством BB) {1,3,7}⊇{7,3}{1,3,7}⊇{7,3}
A⊃BA⊃B Отношение правильного надмножества (AA является правильным надмножеством BB) Когда AB⇔A⊂BAB⇔A⊂B
AA ⊋ BB Отношение без надмножества (AA не является надмножеством BB) Когда NN⊋R

Аватары экспертов Хекслета

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты

Для полного доступа к курсу нужен базовый план

Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.

Получить доступ
1000
упражнений
2000+
часов теории
3200
тестов

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

  • 130 курсов, 2000+ часов теории
  • 1000 практических заданий в браузере
  • 360 000 студентов
Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Логотип компании Альфа Банк
Логотип компании Aviasales
Логотип компании Yandex
Логотип компании Tinkoff