- Что такое распределительный закон
- stem:[A (B + C) = AB + AC]
- stem:[A (B - C) = AB - AC]
- stem:[2(4 + 3)]
- * С распределением: умножить stem:[42=8] и stem:[32=6], а потом сложить stem:[8+6=14]
- stem:[6(2+4x)]
- stem:[62+64x]
- stem:[12 + 24x]
- * stem:[84div6=(60+24)div6]
- * stem:[10+4= 14]
- stem:[A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C )]
- stem:[A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C )]
- * stem:[C = {2, 4, 6, 7}] +
- * stem:[B cap C = {4, 6}]
- * stem:[A cup (B cap C) = {0, 1, 2, 3, 4, 6}] — с этим объединением мы и будем сравнивать
- stem:[={-2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}]
- stem:[={0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}]
- * stem:[(A cup B) cap (A cup C) = {0, 1, 2, 3, 4, 6}]
- stem:[{0, 1, 2, 3, 4, 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 6}]
// source_path[42182/900-distributive_law/README.adoc] image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6ImQ2N2RiYTI4OTdhZTE2ZjE0ZDA1NWY0YzMyNWM2NzQ3LnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=f995f81bc2167412ece3ddfefadf8d9f1605d17d421eaa6640ea391454e61fc8[]
В математике есть ряд законов и свойств, которые помогают упростить вычисления. С их помощью можно превращать запутанные сложные формулы в простые.
В этом уроке вы познакомитесь с одним из таких законов — он называется распределительным. Это одно из наиболее часто используемых правил в математике. Мы разберем его формулу и рассмотрим решенные примеры, чтобы в дальнейшем вы могли упрощать свои вычисления.
Что такое распределительный закон
Распределительный закон — это алгебраическое свойство, которое используется для умножения нескольких значений в скобках на одно общее значение вне скобок. Само название этого закона означает, что операция подразумевает распределение чего-либо.
По этому закону операцию над числами в скобках можно распределить на каждое отдельное число в этих скобках. Другими словами, можно действовать двумя способами:
- Сначала сложить члены в скобках, а потом умножить их на число вне скобок
- Сначала умножить каждый отдельный член на число вне скобок, а потом сложить результаты
В виде формулы этот закон выглядит еще нагляднее:
:stem:
====
stem:[A (B + C) = AB + AC]
То же самое работает и с вычитанием:
====
stem:[A (B - C) = AB - AC]
Рассмотрим, как это работает на практике. Возьмем для примера:
====
stem:[2(4 + 3)]
Вычислить ответ можно двумя способами:
====
- По обычному порядку действий: сложить stem:[4+3=7] и умножить stem:[7*2=14]
* С распределением: умножить stem:[4*2=8] и stem:[3*2=6], а потом сложить stem:[8+6=14]
Также в разных источниках вы можете встретить название «дистрибутивный закон» или «распределительное свойство» — эти термины относятся к этому же понятию.
Распределительный закон с переменными
Распределительный закон работает и с переменными. Рассмотрим такой пример:
====
stem:[6(2+4x)]
Два значения внутри скобок — это число и переменная, умноженная на число. Их нельзя сложить друг с другом, поэтому упростить эти значения дальше невозможно. Но мы можем применить распределительный закон к переменной:
====
stem:[6*2+6*4x]
Скобок больше не существует. Каждый член умножается на 6, а потом результаты складываются:
====
stem:[12 + 24x]
Выше мы рассмотрели примеры, где распределительный закон упрощает умножение. Обратите внимание, что в этих примерах мы сталкивались только с двумя значениями в скобках. На практике те же принципы применимы и с любым количеством значений и не только к умножению, но и к делению.
Распределительный закон при делении
Мы можем делить большие числа с помощью распределительного закона, разбивая их на меньшие числа.
Для примера разделим stem:[84 div 6]. Чтобы упростить эту операцию, можно разбить stem:[84] на более удобные значения:
====
- stem:[84=60+24]
* stem:[84div6=(60+24)div6]
Теперь распределяем деление на каждое значение в скобках:
====
- stem:[(60 + 24) div 6=(60 div 6) + (24 div 6)]
- stem:[(60 div 6) + (24 div 6)= 10 + 4]
* stem:[10+4= 14]
Распределительный закон с множествами
Все те же правила работают и в выражениях с множествами. В этом случае распределительный закон выглядит так:
====
stem:[A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C )]
То же самое можно обозначить такой формулой:
====
stem:[A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C )]
Разберем на примере с диаграммами Венна. Представим, что нам даны три множества:
====
- stem:[A = {0, 1, 2, 3, 4}] +
- stem:[B = {1, -2, 3, 4, 5, 6}] +
* stem:[C = {2, 4, 6, 7}] +
Шаг 1. Сначала найдем общие элементы в stem:[B] и stem:[C]:
====
- stem:[B cap C = {1, -2, 3, 4, 5, 6} cap {2, 4, 6, 7}]
* stem:[B cap C = {4, 6}]
Теперь объединим эти элементы с множеством stem:[A]:
====
- stem:[A cup (B cap C) = {0, 1, 2, 3, 4} cup {4, 6}]
* stem:[A cup (B cap C) = {0, 1, 2, 3, 4, 6}] — с этим объединением мы и будем сравнивать
Шаг 2. Объединяем множество stem:[A] по отдельности. Начнем с stem:[B]:
==== stem:[A cup B = {0, 1, 2, 3, 4} cup {1, -2, 3, 4, 5, 6}] +
stem:[={-2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}]
image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6ImI0YTA1OGNiN2NmYTA1M2ZjNjkxNjc0ZjIxMWQ3ZGY3LmpwZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=1be07ed688198ca490ee2c03a24671c35b7ab74006142694977d784cb98bbd31[] А затем объединим с stem:[C]:
==== stem:[A cup C = {0, 1, 2, 3, 4} cup {2, 4, 6, 7}] +
stem:[={0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}]
Пересечем полученые результаты, то есть найдем совпадающие элементы в них:
====
- stem:[(A cup B) cap (A cup C) = {-2, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} cap {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}]
* stem:[(A cup B) cap (A cup C) = {0, 1, 2, 3, 4, 6}]
Теперь сравним результаты шага 1 и 2:
====
stem:[{0, 1, 2, 3, 4, 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 6}]
Значит, stem:[A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C)]. Именно это мы и хотели выяснить.
Выводы
В этом уроке мы изучили распределительный закон — одно из наиболее часто используемых правил в математике. С его помощью можно превращать запутанные сложные формулы в простые. Мы можем распределять:
- Умножение по сумме нескольких значений в скобках + stem:[a(b+c)=ab+ac]
- Умножение по разности нескольких значений в скобках + stem:[a(b-c)=ab-ac]
- Деление по сумме нескольких значений в скобках + stem:[(b+c)diva=(bdiva)+(cdiva)]
- Деление по разности нескольких значений в скобках + stem:[(b-c)diva=(bdiva)-(cdiva)]
Те же правила применимы при нескольких значениях в скобках, а также в операциях с множествами. Эти правила помогут вам упрощать выражения в арифметике, алгебре и теории множеств — вы сможете быстрее вычислять и проще приходить к решению задач.
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
