Теория: Непересекающиеся множества

Непересекающиеся множества — это такие множества, пересечение которых друг с другом приводит к нулевому множеству. В теории множеств иногда мы замечаем, что в двух множествах нет общих элементов. Другими словами, пересечение множеств является пустым множеством или нулевым множеством. Такой тип множества называется непересекающимся множеством.

Например, если у нас есть A = {1, 2, 3} и B = {4, 5, 6}, то мы можем сказать, что эти два множества непересекающиеся, поскольку в этих двух множествах A и B нет общих элементов.

В этом уроке вы узнаете, что такое непересекающееся множество, объединение непересекающихся множеств и попарно непересекающееся множество.

Непересекающиеся множества широко применяются в структурах данных. В математике мы используем их, чтобы находить связи между двумя множествами или функциями. Если элементы двух множеств связаны, то они не являются непересекающимися.

Определение

Два множества считаются непересекающимися, если в них нет общих элементов. Другими словами, если пересечение двух множеств пусто, то эти множества считаются непересекающимися.

В непересекающихся множествах нет общих элементов, потому что в результате операции пересечения множеств между ними всегда будет получаться нулевое или пустое множество.

Рассмотрим два множества:

• A = {a, b}
• B = {c, d}

Очевидно, что эти два множества не имеют общих элементов между собой.

Пересечение A и B дает нулевое множество: A ∩ B = ∅. Значит они не пересекаются.

Попарно непересекающиеся множества

Если множеств больше двух, то они считаются попарно непересекающимися, если никакой элемент не принадлежит двум множествам одновременно..

Еще такие множества можно назвать взаимно непересекающиеся.

На практике это работает так:

• { {1}, {2, 3}, {4, 5, 6} } — попарно непересекающееся множество.
• { {1, 2}, {2, 3} } не попарно непересекающиеся, потому что есть общий элемент 2

Являются ли два нулевых множества непересекающимися?

Мы знаем, что два множества не пересекаются, если в них нет общих элементов. В пустых множествах элементов нет, получается, что и общих мы найти не сможем.

Когда мы берем пересечение двух пустых множеств, новое множество также является пустым. Пустое множество не пересекается с самим собой:

∅ ∩ ∅ = ∅

Разница между пересекающимися и непересекающимеся множествами

Рассмотрим два множества A и B.

Предположим, что оба множества A и B — непустые. Таким образом, если A ∩ B также будет непустым множеством, то такие множества называются пересекающимися*. И обратный случай: если A ∩ B приводит к пустому множеству, то такое множество называется непересекающимися.

На практике это работает так:

• A = {1, 2, 3} и B = {3, 4, 5}
• A ∩ B = {3}

Следовательно, A и B — пересекающиеся

В случае, если A = {1, 2, 3} и B = {4, 5, 6}, тогда A ∩ B = ∅

Следовательно, A и B — непересекающиеся