• Разница двух множеств
• Читаем как: «stem:[A] минус stem:[B]»
• Читаем как: «stem:[B] минус stem:[A]»
• stem:[A - B != B - A]
  • Симметрическая разность между двумя множествами
  • Разность трех множеств
  • Правила разности

// source_path[42182/600-difference/README.adoc] image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6ImRlMTZkZWI2ZjNiZjU2ODVhOTE4ZTk3OWZjYjlhYmM5LnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=51019e9b1a68a208305449549476217d1abc390de02b417fd1d147d0def15b46[]

В рамках школьной математики все мы научились выполнять сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Мы можем применить каждую из этих операций к паре чисел, чтобы получить другое число. Например, при вычитании пары чисел stem:[10] и stem:[7] мы получаем число stem:[3], то есть разность между stem:[10] и stem:[7] равна stem:[3].

Аналогично, есть определенные операции, которые мы можем выполнить над двумя множествами, в результате чего получается другое множество. В этом уроке мы подробно изучим одну из операций над множествами, называемую разностью множеств, ее определение, формулы и примеры.

:stem: asciimath

Разница двух множеств

Разность множеств stem:[A] и stem:[B] в таком порядке — это множество элементов, которые принадлежат stem:[A], но не принадлежат stem:[B]:

==== Обозначаем как: stem:[A - B] +

Читаем как: «stem:[A] минус stem:[B]»

Представление stem:[A-B] с помощью диаграммы Венна приведено ниже:

image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6ImQ3NWVjMTJhZmUzM2Y2MzUxMWRmY2MzMGU5N2JkZDk3LnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=20888041487427f37efbaad61f418220abff6277eb3e19a0676a14cef2f889a0[]

Также мы можем найти stem:[B - A]. Разность множеств stem:[B] и stem:[A] в таком порядке — это множество элементов, которые принадлежат stem:[B], но не принадлежат stem:[A]:

==== Обозначаем как: stem:[B - A] +

Читаем как: «stem:[B] минус stem:[A]»

Диаграмма Венна для stem:[B - A] будет выглядеть так:

image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6IjMwM2Y4MTczY2UyZTBiM2ZjMjU2Y2RhNWZmMGNhZjYxLnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=9e72bcf24917c4b36999d68ce4489f223a62ab2a315667e5a64fda9a76b408b4[] Также обратите внимание, что stem:[A - B] не равно stem:[B - A], то есть:

====

stem:[A - B != B - A]

Симметрическая разность между двумя множествами

Симметрическая разность множеств содержит элементы, которые находятся либо в множестве stem:[A], либо в множестве stem:[B], но не в обоих. Она обозначается stem:[A] ⊝ stem:[B] и читается как «Симметрическая разность множеств stem:[A] и stem:[B]». Так она выглядит на схеме:

image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6IjVmMjUwZDA0MTA4N2U3M2U5NDczYzFjOTJiYTg1MmExLnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=01d889c759aebd980ee60412237cc0e2ab37dd615f336c48c629a490ab885482[]

Разность трех множеств

Усложним задачу и попробуем найти разницу между тремя множествами stem:[A, B] и stem:[C].

Предположим, что stem:[A, B] и stem:[C] — три непустых множества. Тогда stem:[A - B - C] представляет собой множество, содержащее элементы stem:[A], которые не входят в stem:[B] и stem:[C].

Представление stem:[A - B - C] в виде диаграммы Венна приведено на следующей диаграмме:

image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6IjI5NTMyYjhkMTQyMTY0MDNiZWYxNTJkMzA1NjdjOGI1LnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=8b14afc7b5e57aebb84c24c41e911516aae233c0b398c21abff78024ce498205[]

Правила разности

• Предположим, что два множества stem:[A] и stem:[B] равны. Тогда stem:[A - B = A - A = emptyset] и stem:[B - A = B - B = emptyset]
• Разностью множества и пустого множества является само множество, то есть stem:[A - emptyset = A]
• Разностью пустого и непустого множества является пустое множество, то есть stem:[emptyset - A = emptyset]
• Разность множества stem:[A] от универсального множества stem:[U] равна пустому множеству, то есть stem:[A - U = emptyset]
• Если stem:[A] и stem:[B] — непересекающиеся множества (не имеют общих элементов), то stem:[A - B = A] и stem:[B - A = B]

Самостоятельная работа

// source_path[42182/600-difference/self_study.adoc]

Задача №1:

Условие:

• stem:[A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}] +
• stem:[B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}]

Найдите stem:[A - B] и stem:[B - A].

.Нажмите, чтобы увидеть ответ [%collapsible]

==== По условию:

• stem:[A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}]
• stem:[B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}]

stem:[A - B = {1, 2}], так как элементы stem:[1, 2] есть в stem:[A], но нет в stem:[B].

Аналогично: stem:[B - A = {7, 8}], так как элементы stem:[7] и stem:[8] принадлежат stem:[B], а не stem:[A].

Таким образом можно показать, что stem:[A - B != B - A].

====

Задача №2:

Условие:

• stem:[A = {11, 12, 13, 14, 15}]
• stem:[B = {10, 12, 14, 16, 18}]
• stem:[C = {7, 9, 11, 14, 18, 20}]

Найдите следующее:

1. stem:[A-B-C]
2. stem:[B-A-C]
3. stem:[C-A-B]

.Нажмите, чтобы увидеть ответ

[%collapsible]

По условию задачи:

• stem:[A = {11, 12, 13, 14, 15}]
• stem:[B = {10, 12, 14, 16, 18}]
• stem:[C = {7, 9, 11, 14, 18, 20}]

Сделаем из этого условия следующие выводы:

1. stem:[A-B-C = {11, 12, 13, 14, 15}-{10, 12, 14, 16, 18}-{7, 9, 11, 14, 18, 20}] stem:[= {13, 15}]
2. stem:[B-A-C = {10, 12, 14, 16, 18}-{11, 12, 13, 14, 15}-{7, 9, 11, 14, 18, 20}] stem:[= {10, 16}]
3. stem:[C-A-B = {7, 9, 11, 14, 18, 20}-{11, 12, 13, 14, 15}-{10, 12, 14, 16, 18}] stem:[= {7, 9, 20}] ====

---

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты