- stem:[{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}]
- stem:[{-2, -1, 0, 1}] — это подмножество универсального множества
- stem:[A' = {x in U : x notin A}]
- * Множество stem:[A = {2, 3, 5}]
- - Кроме того, stem:[A cap A' = emptyset]
// source_path[42182/500-complement/README.adoc] image::https://cdn2.hexlet.io/derivations/image/original/eyJpZCI6ImE5ODlhMzU5ZGUwN2RiMDU1YzY2ODI2NjMwZTU5ZDg0LnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=2206252b7efb3bc77471f43fe60fa4650b80e487ba58ad6f88321fbd7f936f9f[]
Прежде чем мы определим, что такое дополнение множества, вспомним определения универсального множества и подмножества — эти термины будут часто использоваться в этом уроке. Универсальное множество — это множество всех элементов, которые рассматриваются в конкретной задаче или ситуации.
:stem: asciimath
Допустим, нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству stem:[-3 < x < 2]. Нам дано универсальное множество целых чисел:
====
stem:[{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}]
Целые числа, которые удовлетворяют неравенству:
====
stem:[{-2, -1, 0, 1}] — это подмножество универсального множества
Допустим, у нас есть множество stem:[A] — подмножество некоторого универсального множества stem:[U]. Дополнение stem:[A] — это все остальные элементы из stem:[U], которые не вошли в stem:[A].
В нашем примере выше, дополнение для stem:[{-2, -1, 0, 1}] — это множество, содержащее все целые числа, которые не удовлетворяют неравенству: stem:[{..., -3, 2, 3, ...}].
Мы можем проиллюстрировать это определение на другом примере. Если нашим универсальным множеством являются города России, то возможным подмножеством является множество городов миллионников: stem:[A={]Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Екатеринбург, Казань, Нижний Новгород, Челябинск, Самара, Уфа, Ростов-на-Дону, Омск, Волгоград, Воронеж, Краснодар, Красноярск, Пермьstem:[}].
Тогда дополнением stem:[A] будет множество, содержащее все остальные города, которые не являются миллионниками.
Существуют различные способы обозначения дополнения множества с помощью нотации. Например, можно использовать знак простого числа. Иногда используется надстрочная строчная буква stem:[c]. Над именем исходного множества может стоять черточка или символ подчеркивания. Мы будем использовать stem:['].
В этом уроке мы подробно рассмотрим дополнение множества, его определение и свойства.
:stem:
Что такое дополнение множества?
Простыми словами, дополнение множества stem:[A] — это разность между универсальным множеством и множеством stem:[A].
Это тождество можно записать так:
====
stem:[A' = {x in U : x notin A}]
В дополнение входят те элементы stem:[x] из множества stem:[U], которые не входят в stem:[A].
Условные обозначения
Дополнение любого множества представляется как stem:[A', B', C'] и т.д. Другими словами, если задано универсальное множество stem:[(U)] и подмножество универсального множества stem:[(A)], то разность универсального множества stem:[(U)] и подмножества универсального множества stem:[(A)] является дополнением подмножества, то есть stem:[A' = U - A].
Рассмотрим на таком примере:
====
- Дано stem:[U], в которое входят все простые числа до stem:[25]
* Множество stem:[A = {2, 3, 5}]
Найдем дополнение:
====
- Шаг 1: Проверка универсального множества и множества, для которого нужно найти дополнение: stem:[U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, A = {2, 3, 5}]
- Шаг 2: Вычитание: stem:[(U - A)] +
- Шаг 3: Здесь stem:[U - A = A'] + stem:[= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} - {2, 3, 5}] + stem:[= {7, 11, 13, 17, 19, 23}] + ====
Диаграмма
Для лучшего понимания посмотрите на приведенную ниже диаграмму Венна, которая ясно показывает дополнение множества stem:[A], то есть stem:[A']:
Здесь stem:[A'] не является частью множества stem:[A], и множество stem:[A] также не является частью stem:[A']. stem:[A] и stem:[A'] являются подмножествами stem:[U].
Свойства дополнения множества
Ниже перечислены свойства дополнения множества, которые включают в себя:
- Законы дополнения
- Закон двойного дополнения
- Закон пустого множества
- Закон универсального множества
Законы дополнения
Если stem:[A] является подмножеством универсального множества, то stem:[A'] также является подмножеством универсального множества. Поэтому объединение stem:[A] и stem:[A'] является универсальным множеством, представленным как stem:[A cup A' = U]
Пересечение множеств stem:[A] и stem:[A'] дает пустое множество "stem:[emptyset]", представленное как stem:[A cap A' = emptyset]
Рассмотрим на таком примере:
====
- Если stem:[U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 }] и stem:[A = {4 , 5}] и stem:[B = {1, 2}]
- stem:[A' = {1 , 2 , 3 }] и stem:[B' = {3, 4, 5}]
- stem:[A cup A' = U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5}]
- Кроме того, stem:[A cap A' = emptyset]
Закон двойного дополнения
- Дополнением дополненного множества является исходное множество stem:[(A')' = A]
- Дополнение множества stem:[A'], где само stem:[A'] является дополнением stem:[A], двойное дополнение stem:[A], таким образом, является самим stem:[A]
В предыдущем примере stem:[U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}] и stem:[A = {4 , 5}], тогда stem:[A' = {1 , 2 , 3 }]. Дополнение stem:[A' = (A')' = {4, 5}], что равно множеству stem:[A].
Закон для пустого множества и универсального множества
- Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество (stem:[emptyset]), а дополнением пустого множества — универсальное множество
- Поскольку универсальное множество содержит все элементы, а пустое множество не содержит никаких элементов, следовательно, их дополнения прямо противоположны друг другу, что представляется как stem:[emptyset' = U] И stem:[U' = emptyset]
В примере выше, множество stem:[U = {1, 2, 3, 4, 5}] содержит все элементы множества stem:[A], а множество stem:[B] как универсальное множество содержит все элементы, поэтому stem:U' = emptyset и stem:[emptyset' = {1, 2, 3, 4, 5}].
Выводы
- Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество
- Множество пересечения содержит элементы, которые являются общими для обоих множеств
- Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, которые находятся в A или B или в обоих
Самостоятельная работа
// source_path[42182/500-complement/self_study.adoc]
Задача №1:
По условию задачи:
- stem:[B = { p | p] кратно stem:[3, p in N }]
- stem:[p in N] означает, что stem:[N] — универсальное множество натуральных чисел
Найдите stem:[B'].
:stem: asciimath
.Нажмите, чтобы увидеть ответ [%collapsible]
==== По условию задачи:
- stem:[N = U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, ...}.]
- stem:[B = { p | p] кратно stem:[3, p in N } rightarrow B = { 3, 6, 9, 12, 15, ... }]
Следовательно, дополнением множества stem:[B] является:
- stem:[B' = U - B = { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11, ...}]
Ответ: stem:[{ 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11, ... }]
====
Задача №2:
Если stem:[U] — универсальное множество, содержащее stem:[50] учеников класса stem:[X] школы совместного обучения, а stem:[A] — множество всех девочек и оно содержит stem:[25] девочек. Найдите количество элементов дополнения множества девочек?
.Нажмите, чтобы увидеть ответ
[%collapsible]
Если множество stem:[A] содержит всех девочек, то дополнением множества stem:[A] является множество всех мальчиков. Разность между универсальным множеством и множеством всех девочек является дополнением множества девочек.
Таким образом, stem:[n(A') = 50 - 25 = 25]. Следовательно, дополнение множества содержит stem:[25] мальчиков.
Ответ: stem:[25]
Задача №3
Найдите дополнение множества stem:[A] и множества stem:[B].
Покажите, что stem:[(A U B)' = A' cap B'], где stem:[U = {11, 12, 13, 14, 15, 16}, A = {12, 13}] и stem:[B = {13, 14, 15}]?
.Нажмите, чтобы увидеть ответ
[%collapsible]
Дополнение множества stem:[A] или stem:[A'] содержит элементы, отличные от элементов множества A.
Следовательно, stem:[A' = {11, 14, 15, 16}].
Аналогично, stem:[B' = {11, 12, 16}].
Найдем stem:[A' cap B']. Так содержатся элементы, включенные как в stem:[A'], так и в stem:[B'].
Значит, stem:[A' cap B' = {11, 16}. ... (1)].
Таким образом, stem:[A U B = {12, 13, 14, 15}].
Значит, дополнение stem:[A U B] или stem:[(A U B)' = {11, 16}].
Следовательно, stem:[(A U B)' = A' cap B' = {11, 16} ... (2)].
Из stem:[(1)] и stem:[(2)] следует, что stem:[(A U B)' = A' cap B'].
====
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
