Математики по опыту знают, что все нужно подвергать строгой проверке, даже самые очевидные аргументы и утверждения. Интуиция и невнимательность часто могут сбить с пути и привести к неверным выводам, например:
Сидящий человек встал со стула
Если человек встал, значит его можно считать стоящим
Следовательно, сидящий человек стоит
По логике все верно, но разве можно сидеть и стоять одновременно?
Подобные ошибки иногда ускользают даже от самого бдительного глаза. Они называются математическими уловками или софизмами. С их помощью можно прийти к выводам, которые противоречат математическим законам и здравому смыслу.
Можно найти убедительное доказательство, что:
-
Все люди на планете одного возраста
-
Числа 5700 и 57 равны
В этом уроке мы поговорим о софизмах подробнее и научимся отыскивать ошибки в них.
Что такое софизмы
Софизмы — это неверный результат, который мы получаем в результате внешне правильных, но умозрительных рассуждений. Посмотрим, как софизмы работают на практике. Попробуем доказать, что
С первого взгляда все правильно. Где же ошибка? Она кроется на третьем шаге:
В математике есть правило, по которому . Но данное правило не работает, если и отрицательны — в нашем примере как раз такой случай. Таким образом, из-за одного ошибочного утверждения все доказательство из пяти шагов становится неверным.
Посмотрим на еще один пример. Здесь мы доказываем, что 1 доллар равен 1 центу:
1 доллар = 100 центов
100 центов = 10 центов × 10 центов
10 центов × 10 центов = 0.1 доллара × 0.1 доллара
0.1 доллара × 0.1 доллара = 0.01 доллара
0.01 доллара = 1 доллар
Это доказательство неверно, потому что в шагах нарушены правила действий с размерностями. Если мы возводим величину в квадрат, то по правилу размерность тоже нужно возвести в квадрат: . В примере выше этого не происходит: мы возводим в квадрат только значение , но забываем сделать то же самое с размерностью.
Как найти ошибку в софизме
Чтобы обнаружить заблуждение, нужно рассматривать каждый шаг доказательства по отдельности. Давайте рассмотрим еще один пример:
Пусть
Домножим обе части на
:
Вычтем 1 из обеих частей:
Разделим обе части на x-1:
Разложим левую часть по формуле:
Упростим:
Вычтем 1 из обеих частей:
Подставим значение
:
Ошибка здесь неочевидна с первого взгляда:
В шаге 2 умножаем обе стороны уравнения на
В шаге 4 происходит деление на
В шаге 7 мы обнаружили, что шаг 2 привел уравнение к виду
Возвращаемся к шагу 4 и видим ошибку:
, хотя на ноль делить нельзя
Делаем вывод: именно четвертый шаг приводит к тому, что решение остается единственным вариантом.
Аналогичным методом можно доказать, что любое число равно любому другому числу. Например:
Определим значение переменной:
Вычтем:
Домножим на x + 200:
Разделим на x - 57000:
Получаем результат:
В этом уроке мы разобрались, как искать ошибки в софизмах — нужно пошагово разбирать решение и проходить всю последовательность шагов.
Навык работы с софизмами и их исправления очень важен для всех, кто работает с логикой, математикой и программированием. Он позволяет минимизировать ошибки и повышает качество финального решения.
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
