И в работе, и в обычной жизни мы постоянно сталкиваемся с парадоксами — утверждениями, которые кажутся абсолютно логичными, но при этом противоречат сами себе. Человечеству такие парадоксы известны с древнейших времен. Возьмем для примера высказывание Сократа:
«Я знаю, что ничего не знаю»
Компоненты этой фразы логически противоречат друг другу: как можно одновременно и что-то знать, и ничего не знать? Именно поэтому такие фразы называются парадоксами — в них есть понятный смысл, но отсутствует логика.
Некоторые парадоксы только кажутся нелогичными: со временем они разрешаются сами собой, благодаря концептуальному анализу или новым научным открытиям. В этом уроке мы рассмотрим несколько известных примеров и попробуем разобраться, зачем изучать парадоксы и как они помогают лучше понять системы коммуникации в математике.
Парадокс курицы и яйца
Начнем с одного из самых известных примеров:
Что было первым: яйцо или курица?
Если формулировать парадокс именно так, то у него есть решение с точки зрения эволюции: яйцо было первым, потому что яйца появились задолго до кур. Сначала разные животные начали откладывать яйца для размножения, а уже потом, много лет спустя, появились курицы как отдельный вид.
А теперь ограничим вопрос только «куриными яйцами». Тогда перед нами встает два новых вопроса:
- К какому биологическому виду отнести яйцо, из которого вылупилась первая курица?
- Это «куриное яйцо» или «яйцо другой птицы, от которой произошли современные курицы»?
В итоге этот парадокс приходит к семантическому выбору. Новые знания об эволюции свели неразрешимую дилемму к простому спору о терминах.
Парадокс зарождения Вселенной
Попробуем еще глубже передать красоту парадокса курицы или яйца, сформулировав его в космических терминах:
Что появилось первым: законы науки или вселенная, управляемая этими законами?
Предположим, что Вселенная началась с Большого взрыва. Все события после него регулируются законами науки — в том числе и теми, которые человечество еще не открыло. Но существовали ли законы науки до Большого взрыва? На этот вопрос можно посмотреть с четырех точек зрения:
- Законы науки существовали до Большого взрыва, потому что без них Большой взрыв невозможен
- Законы науки не существовали до Большого взрыва, потому что все началось после зарождения Вселенной. До Большого взрыва не было вещества, пространства, времени и остальных понятий, а без них законы науки теряют смысл.
- Законы науки существовали до зарождения Вселенной, но тогда наше утверждение «Вселенная началась с Большого взрыва» неверное. Значит, наша научная картина мира неверна?
- Сложно сказать, что законы науки «существовали». Что означает это слово? Верно ли мы его используем?
Со временем ученые узнают больше о Вселенной, сделают новые научные открытия и ответят на этот вопрос. А пока, это один из наглядных примеров парадокса — аргументы логичны, но по смыслу противоречат друг другу.
Парадокс города в долгах
Представим маленький городок. Так вышло, что жители постоянно оказывают услуги друг другу, но денег у них нет. Все держится на обещаниях заплатить позже, пока однажды в городе не появляется гость. Его прибытие запускает цепочку таких событий:
- Гость приезжает в отель, снимает номер и платит $100 владельцу
- Владелец отеля задерживал зарплату работникам, поэтому отдает $100 шеф-повару
- Шеф-повар брал продукты в долг — он отдает $100 бакалейщику
- Бакалейщик недавно лечился в долг — он отдает $100 доктору
- Доктор задерживал зарплату сотрудникам — он отдает $100 медсестре
- Медсестра жила в отеле в долг — она отдает $100 владельцу отеля
- Так $100 снова оказались в руках владельца отеля
- Гость заявляет, что номер ему не понравился — владелец возвращает ему $100
В итоге, деньги снова вернулись к гостю, но при этом жители рассчитались по долгам. Ситуация поменялась, хотя реальных изменений не было. Существовал ли долг на самом деле? В этом и заключается парадокс.
Парадокс Рассела
В начале 20 века британский математик Бертран Рассел сформулировал:
- Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента.
- Содержит ли K само себя в качестве элемента?
- Если да, то по определению K не должно быть элементом K — противоречие.
- Если нет, то по определению K должно быть элементом K — вновь противоречие.
У этого парадокса есть несколько более понятных формулировок. Вот одна из них:
Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном городе для мэров. Где должен жить мэр города мэров?
Представьте, что вы живете в обычном городе, работаете на обычной работе, общаетесь с коллегами и соседями. А потом вас неожиданно назначили мэром вашего города. Здесь все логично — вы просто переезжаете в специальный город.
При этом вашего друга назначили мэром города мэров. Он в любом случае нарушит закон:
- Нельзя переезжать в город для мэров, ведь запрещено жить в городе, которым управляешь.
- Нельзя отказываться от переезда, потому что все мэры должны жить в специальном городе.
Теперь воспользуемся языком математики, чтобы описать эту ситуацию:
- Пусть A — множество всех множеств, не содержащих самих себя: {S | S не принадлежит S}.
- Например, 1 принадлежит {{1}, {1, 2}}, но {1} не принадлежит {1}.
Дальше возможны два варианта:
- Если A принадлежит A, то по определению A не принадлежит A.
- Если A не принадлежит A, то по определению A принадлежит A.
Дальше мы приходим к двум верным фактам:
- x принадлежит A означает, что x принадлежит множеству A.
- x не принадлежит A означает, что x не принадлежит множеству A.
В итоге мы пришли к парадоксальному выводу:
S такое, что S не принадлежит S.
На всех примерах из урока выше видно, что парадокс — это утверждение, которое одновременно кажется и неправдой, и правдой. Другими словами, парадокс основан на фактах, но при этом противоречит сам себе.
Парадоксы используются в математике как интересные головоломки, но от них есть еще одна польза. Они показывают, насколько важно проверять математические аргументы и следить, нет ли в них лазеек.
Парадоксы доказывают, что не стоит сразу же верить в то или иное утверждение — сначала нужно тщательно продумать вопрос с точки зрения математики.
Самостоятельная работа
Задача №1: Три ошибки
Рассмотрим такое утверждение: «В этом предложжении есть три ошиббки». Как думаете, оно ложно или истинно?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Кажется, это утверждение неверно, потому что здесь всего две ошибки — двойные _жж_ и _бб_. С другой стороны, в утверждении дано неверное количество ошибок. Значит, в нем есть неточность по смыслу — то есть третья ошибка. Таким образом мы выяснили, что утверждение верно. В этом и состоит парадокс: предложение верно и неверно одновременно.Задача №2: Ложь или правда?
Представим человека, который говорит: «Я всегда только лгу». В этот момент он лжет или говорит правду?
Обратите внимание, что такое утверждение не может быть истинным.
При этом само предложение двусмысленное. Если мы считаем его ложным, то смысл можно интерпретировать с двух сторон: «Я всегда говорю только правду» или «я иногда говорю правду». Одна из этих интерпретаций приводит к парадоксу, а другая — нет.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Представим, что эта фраза ложна — в таком случае она означает «Я всегда говорю только правду». Значит, собеседник лжет во фразе «Я всегда только лгу», то есть нарушает собственный принцип правдивости. А теперь представим, что эта фраза истинна — в таком случае собеседник говорит правду, а значит снова нарушает собственные принципы. Эту задачу можно решить без парадокса, если приравнять «Я всегда лгу» к «я не всегда лгу». В таком случае человек лжет иногда, а значит возможен любой из разобранных ранее исходов задачи.Задача №3: Неожиданный тест
Преподаватель говорит студентам: «На следующей неделе хочу провести тест. Специально не говорю дату, чтобы вы показали свои знания без подготовки. Утром в день теста сообщу вам точное время».
На самом деле, тест не станет для студентов неожиданностью. Как думаете, почему?
Чтобы было проще, попробуйте начать с размышлений на тему «Почему тест в пятницу не станет неожиданностью для студентов?».
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Если преподаватель планирует тест в пятницу, студенты догадаются об этом вечером четверга и смогут подготовиться — эффекта неожиданности не будет. Поэтому неожиданный тест можно проводить только с понедельника по четверг. Теперь представим, что тест запланирован на четверг, но здесь работает такая же логика. Неожиданности не будет, потому что студенты догадаются вечером в среду и подготовятся за ночь. Поэтому четверг исключается. По этой логике среда и вторник тоже исключаются. Остается понедельник как единственный вариант, но и здесь у студентов будут выходные на подготовку.
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
