Нотации — Введение в математическую логику

Конъюнкция — это оператор, который работает как союз «и» и обозначается через . Вся конъюнкция истинна, только если оба высказывания истинны:

Бывают случаи, когда одно из высказываний ложное. Тогда вся конъюнкция становится ложной:

Дизъюнкция — это оператор, который работает как союз «или» и обозначается через . Вся дизъюнкция истинна, если истинно одно из высказываний или оба:

Компания Apple действительно продает смартфоны, то есть высказывание верное. Если в дизъюнкции есть хотя бы одно верное высказывание — вся остальная дизъюнкция тоже верна.

Рассмотрим еще один пример. Здесь вся дизъюнкция ложная, потому что оба высказывания ложные:

Отрицание — это оператор, который работает как частица «не» и обозначается через ¬. Например:

Бывают случаи, когда нужно добавить отрицание к отрицанию:

Импликация — это оператор, который обозначает условное высказывание. Она работает как конструкция «если…​, то…​» и обозначается через .

Вот несколько примеров условных высказываний:

Может возникнуть путаница: когда импликацию следует считать истинной, а когда — ложной?

Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим пример. Предположим, что Вася будет играть в теннис с Ромой. Рома делает заявление:

Если Вася выиграет, то он получит мороженое. Но если Вася проиграет, Рома ничего не должен — обещаний на этот случай он не давал.

В конце матча возможны четыре варианта развития событий:

Заявление Ромы прямо исключает вариант . Еще Рома не упомянул или — если Вася проиграет, Рома может поступить как угодно.

По сути, Рома сказал, что события , и могут произойти, а не произойдет. Рома будет пойман на лжи, только если произойдет исход . В остальных трех случаях он скажет правду.

Чтобы записать высказывание Ромы символически, определим более простые высказывания:

Используем логический символ импликации . Направим его от к , чтобы сформировать составное высказывание:

Эта импликация ложна только в одном случае:

При всех других исходах утверждение истинно.

Обозначим эту ситуацию через логические уравнения для импликации:

Выше мы рассматривали только пропозиции — утверждения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Теперь попробуем расширить простую пропозициональную логику и введем новое понятие.

Предикат — это логическое утверждение, в котором содержатся переменные. Предикаты обозначаются заглавной буквой, а переменные перечисляются как аргументы. Например, предикат с переменной обозначается так: .

Как определить, предикат истинный или ложный? Это зависит от значения его переменных. Рассмотрим на примерах:

И еще один пример:

Предикаты принимают два значения — истина или ложь. Поэтому к ним применимы все операторы алгебры логики, которые мы рассмотрели выше. Используя операторы, можно формировать более сложные предикаты.