Введение в теорию множеств — Введение в математическую логику

• Что такое множество
• Как обозначаются множества
  • Форма реестра
  • Форма построения набора
  • Какими бывают множества
• Выводы

За время этого курса мы изучили множество аспектов математической логики. Теперь вы умеете использовать нотации и решать парадоксы, замечать софизмы, работать с эквивалентными высказываниями, предикатами и квантификаторами. Кроме того, вы изучили ПДФ и ПКФ, а также разобрались с правилами вывода.

Все эти инструменты пригодятся вам дальше, когда мы будем изучать дискретную математику.

Далее мы изучим теорию множеств — раздел математической логики о множествах и их свойства. Без понимания множеств будет трудно объяснить другие понятия: отношения, функции, последовательности, вероятности, геометрию и так далее.

Что такое множество

Множество — это коллекция объектов или групп объектов. Множества могут быть связаны с примерами из реальной жизни: через них можно описать количество рек в России или количество цветов в радуге.

А еще множества бывают разных типов. В футбольной команде может быть не более 11 игроков одновременно — это конечное множество. Но существуют и *бесконечные множества**. Например, они могут состоять из натуральных, действительных чисел или мнимых чисел.

Для понимания множеств рассмотрим практический пример. По дороге на работу Вася решил записать названия ресторанов, которые попадутся ему по пути.

У него получится такой список:

P_1, P_2, P_3, P_4

Как видите, это коллекция из четырех хорошо определенных объектов — то есть множество.

Обратите внимание на фразу хорошо определенные объекты. Это значит, что любой человек может определить, принадлежит ли объект к данной коллекции или нет. Например, магазин канцелярских товаров не относится к категории ресторанов. Если коллекция объектов четко определена, она называется множеством.

Возвращаясь с работы, Вася захотел подтвердить список, который он составил ранее. На этот раз он снова написал список, только в обратном порядке. Новый список выглядит так:

P_4, P_3, P_2, P_1

Теперь это другой список, но при этом набор объектов не изменился. Можно сделать вывод, что это одно и то же множество, ведь здесь порядок элементов не имеет значения.

Как обозначаются множества

Множества записывают двумя способами:

1. Форма реестра (табличная форма)
2. Форма построителя наборов

Форма реестра

В реестровой форме мы перечисляем все элементы множества, разделяем их запятой и заключаем в фигурные скобки {}.

Если множество представляет все високосные годы между 1995 и 2015 годами, то его реестровая форма будет выглядеть так:

A={1996,2000,2004,2008,2012}

В этом примере элементы внутри скобок записываются в порядке возрастания, но их можно записывать по убыванию или произвольно. Порядок не имеет значения для множества, представленного в реестровой форме.

Также при представлении множеств игнорируется кратность. Например, возьмем множество, содержащее все буквы в слове ADDRESS. Оно записывается так:

• Верная запись: L={A,D,R,E,S}
• Другая верная запись: L={S,E,D,A,R}
• Неверная запись: L={A,D,D,R,E,S,S}

Форма построения набора

В форме конструктора множеств все элементы имеют какое-то общее свойство. Это свойство не применяется к объектам, которые в набор не входят.

Например, если множество S имеет все элементы, которые являются четными простыми числами, то оно представляется как:

S={x: x — четное простое число}

• x — это символическое представление, которое используется для описания элемента
• : означает «такой, что...»
• {} означает «множество всех»

Таким образом, S={x: x — четное простое число} читается как «Множество всех x таких, что x — четное простое число».

Реестровая форма для этого множества S будет S = 2. Это множество содержит только один элемент. Такие множества называются одиночными или единичными.

Возьмем другой пример:

Множество в форме построения набора:\ F = {p: p — множество двузначных совершенных квадратных чисел}

Похожее множество, только в реестровой форме:\ F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}

В примере выше видно, что:

• 16 — квадрат 4
• 25 — квадрат 5
• 36 — квадрат 6
• 49 — квадрат 7
• 64 — квадрат 8
• 81 — квадрат 9

Обратите внимание, что 4, 9, 121 также являются совершенными квадратами, но они не входят в множество F, потому что оно ограничено только двузначными совершенными квадратами.

Какими бывают множества

Мы уже изучили конечные, бесконечные и единичные множества. Кроме того, бывают такие множества:

• Пустое множество без элементов
• Равное множество, которое имеет одинаковые элементы с другим множеством
• Эквивалентное множество, которое имеет одинаковое количество элементов с другим множеством
• Универсальное множество, которое содержит все рассматриваемые множества
• Подмножество: Если все элементы множества A принадлежат множеству B, то A — подмножество B
• Мощное множество, состоящее из всех возможных подмножеств

С первого взгляда множества могут показаться довольно абстрактной темой, но на самом деле без них наша жизнь была бы абсолютно другой. Все, что вы наблюдаете вокруг себя создано с помощью математических моделей, функций и множеств.

Выводы

Этим уроком мы завершаем курс по математической логике. Здесь мы познакомились с множествами — следующей ступенью в дискретной математике. Теперь вы знаете, что:

• Множество — это коллекция объектов или групп объектов. При этом важно, чтобы множество состояло из хорошо определенных объектов. Это значит, что любой человек может определить, принадлежит ли объект к коллекции или нет
• Для множества не имеет значения порядок элементов и их кратность
• Множества записываются в двух формах
  • Реестровая форма выглядит так: F = {16, 25, 36, 49, 64, 81}
  • Форма построения набора выглядит так: F = {p: p — множество двузначных совершенных квадратных чисел}
• Множества бывают конечными, бесконечными, единичными, пустыми, мощными, равными, эквивалентными и универсальными. Также существуют подмножества: если все элементы множества A принадлежат множеству B, то A — подмножество B

Подробнее о теории множеств, ее применении, символах и формулах мы поговорим уже в следующем курсе.

---

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты