- Возрастающие и убывающие функции
- Правила проверки функций
- Возрастание и убывание на графике
- Свойства возрастающих и убывающих функций
- Выводы
Ранее в курсе мы уже рассматривали разные свойства функций. Сегодня мы разберем еще одно свойство — возрастание и убывание.
В этом уроке мы рассмотрим понятие возрастающей и убывающей функций, их свойства, графическое представление, теоремы для проверки возрастающих и убывающих функций, а также примеры для лучшего понимания.
Возрастающие и убывающие функции
Возрастающие и убывающие функции — это функции, для которых значение производной увеличивается и уменьшается соответственно с изменением значения x.
Рассмотрим подробнее, что значит это определение. Для проверки поведения возрастающих и убывающих функций используется производная функции f(x)
. Считается, что:
- Функция возрастает, если значение
f(x)
увеличивается с ростом значенияx
- Функция убывает, если значение
f(x)
уменьшается с ростом значения x
Давайте рассмотрим формальные определения возрастающей и убывающей функции, чтобы понять их смысл.
Во всех определениях выше соблюдаются общие условия. Возрастание и убывание функции рассматривается:
- На интервале
I
- Для любых двух значений
x
иy
вI
- Если значение
x > y
А теперь рассмотрим сами определения:
- Возрастающая функция — функция
f(x)
возрастает, еслиf(x) ≤ f(y)
- Убывающая функция — функция убывает, если
f(x) ≥ f(y)
- Строго возрастающая функция — функция строго возрастает, если
f(x) > f(y)
- Строго убывающая функция — функция строго убывает, если
f(x) > f(y)
Правила проверки функций
Чтобы проверить возрастание и убывание, можно использовать производную функции. Посмотрим, как это работает на практике.
Предположим, что функция f(x)
дифференцируема на открытом интервале I
, тогда она определяется так:
- Если
f'(x) ≥ 0
наI
, то функция является возрастающей наI
- Если
f'(x) ≤ 0
наI
, то функция является убывающей функцией наI
Чтобы разобраться подробнее, возьмем такой пример:
- Рассмотрим
f(x) = x3
, определенную для всех действительных чисел - Производная от
f(x) = x3
имеет видf'(x) = 3x2
- Мы знаем, что квадрат числа всегда больше или равен
0
, поэтомуf'(x) = 3x2 ≥ 0
для всехx
- Следовательно,
f(x) = x3
— возрастающая функция
Возрастание и убывание на графике
Теперь мы знаем значение и определение возрастающих и убывающих функций. Дальше давайте посмотрим на графическое представление возрастающих и убывающих функций, которое поможет нам понять поведение функций.
Кроме производной, есть еще один способ определить возрастание и убывание функции. Можно взглянуть на ее график:
- Функция возрастает, если график идет вверх по мере продвижения к правой стороне оси
x
- Функция убывает, график идет вниз по мере продвижения к правой стороне оси
x
Посмотрите на этот пример:
На приведенных выше графиках показано графически представлены все четыре типа функций:
- Строго возрастающая
- Строго убывающая
- Возрастающая
- Убывающая
Как видно из графиков, возрастающая функция ведет себя по-разному:
- В одних частях графика есть строго возрастающие интервалы
- В других частях графика есть интервалы, где функция постоянна
Аналогично, убывающая функция состоит из интервалов, где функция строго убывает и где функция постоянна.
Свойства возрастающих и убывающих функций
Выше вы научились проверять, является ли функция возрастающей или убывающей.
Теперь давайте рассмотрим алгебраические свойства возрастающих и убывающих функций. Они помогут вам проводить операции с функциями.
Есть два свойства, связанные с суммами:
- Если функции
f
иg
являются возрастающими на открытом интервалеI
, то сумма функцийf + g
также возрастает на этом интервале - Если функции
f
иg
— убывающие функции на открытом интервалеI
, то сумма функцийf + g
также убывает на этом интервале
Еще два свойства связаны с произведениями:
- Если функции
f
иg
— возрастающие функции на открытом интервалеI
иf
,g ≥ 0
наI
, то произведение функцийfg
также возрастает на этом интервале - Если функции
f
иg
— убывающие функции на открытом интервалеI
иf, g ≥ 0
наI
, то произведение функцийfg
также убывает на этом интервале
Еще несколько свойств связаны с обратными функциями:
- Если функция
f
— возрастающая функция на открытом интервалеI
, то обратная функция-f
убывает на этом интервале - Если функция
f
— убывающая функция на открытом интервалеI
, то противоположная функция-f
— возрастающая на этом интервале - Если функция
f
— возрастающая функция на открытом интервалеI
, то обратная функция1/f
убывает на этом интервале - Если функция
f
— убывающая функция на открытом интервалеI
, то обратная функция1/f
возрастает на этом интервале
Выводы
В этом уроке мы узнали, как работают возрастающие и убывающие функции. Теперь мы умеет определять это свойство двумя способами — через производную и по графику. Также мы познакомились со свойствами возрастающих и убывающих функций — они помогут вам проводить операции с функциями.

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.