Как и в любом другом разделе математики, в комбинаторике есть свои элементарные инструменты — они помогают решать задачи и упрощать сложные выражения. В этом уроке мы изучим два базовых инструмента — принцип голубятни и двойной счет.
Принцип голубятни
Принцип голубятни или принцип Дирихле — это комбинаторное правило, которое можно сформулировать так:
Возьмем коробок и разложим по ним предметов. По крайней мере один из ящиков должен содержать более одного предмета при условии, что
Свое название правило получило от знаменитого примера с голубями. Его привел математик Петер Дирихле:
Если построить голубятню на мест и поселить в нее голубей, то как минимум одно место будет занято несколькими голубями
Согласно этому принципу, если объектов (голубей) разместить в коробок, то хотя бы одна коробка будет содержать объектов. Так это выглядит на примере с голубями:
Этот же принцип можно использовать в другом интересном примере:
В толпе из человек найдется как минимум два человека с одинаковым днем рождения
Чтобы доказать эту мысль, применим принцип голубятни. В примере выше есть 367 человек и только возможных дней в году (с учетом високосного года). Дней меньше, чем людей — то есть не всем людям достанется уникальный день рождения. Поэтому по крайней мере два человека будут с одинаковым днем рождения.
Возьмем похожий пример. Представим колледж, в котором нужно провести уроков за доступных слотов в расписании. Как выяснить минимальное количество кабинетов для этой задачи? Нужно разделить уроков на доступных слотов — получится . Округлим до кабинетов, чтобы не столкнуться с ситуацией, когда приходится проводить два урока в одном кабинете.
В курсе мы разберем еще множество задач и увидим, как принцип голубятни помогает в решении простых задач и заметно упрощает работу над сложными.
Элементарные инструменты: двойной счет
«Двойной счет» или «счет двумя способами» — это комбинаторная техника, с помощью которой можно доказать равенство двух выражений. Само правило можно сформулировать так:
Два выражения равны, если они являются двумя способами подсчета размера одного и того же множества
Другими словами, если два выражения решают одну и ту же задачу, значит они равны между собой. Это правило часто используют для доказательства комбинаторных тождеств:
Разберем на примере:
Представим, что мы проводим экзамен и раздаем студентам бланки с заданиями. Каждый студент должен выполнить не менее заданий. Как доказать, что есть хотя бы одно задание, которое выполнили не менее учеников?
Для начала определим недостающие значения:
заданий, которые студенты должны сделать (минимальное значение)
задания, которые студенты могут сделать вообще (максимальное значение)
Чтобы решить задание, применим двойной счет.
Первый способ: Подсчитаем общее количество заданий, выполненных каждым из студентов. Количество выполненных заданий обозначим через :
Второй способ: Подсчитаем, сколько студентов решили задачу номер , и так далее. Если — это количество студентов, решивших задание, то общее количество выполненных заданий обозначается так:
Из этого равенства делаем вывод:
Нижняя граница достижима, только если хотя бы одно из больше или равно (потому что ). То есть студенты сдадут экзамен только в том случае, если в бланке есть задания, на которые ответят не менее студентов. На этом доказательство завершено.
Выводы
В этом уроке мы познакомились с двумя базовыми инструментами комбинаторики:
-
Принцип голубятни — если взять коробок и положить в них предметов, то по крайней мере один из ящиков должен содержать более одного предмета
-
Двойной счет — два выражения равны, если они являются двумя способами подсчета размера одного и того же множества
Эти принципы помогут вам решать простые комбинаторные задачи и упрощать решения в более сложных случаях.
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
